Pi Sayısının Önemi ve Matematikteki Yeri

Pi, binlerce yıldır aramızda. Pi sayısının değeri ve anlamı tek başına tüm matematik tarihini yansıtır. Bu sayı bizi Orta Doğu'dan Avrupa'ya, Çin'den Hindistan'a ve hatta Amerika'ya götürüyor. Pi, Yunanca 'çevre' anlamına gelen perimetros sözcüğünün ilk harfinden türetildi. Pi çemberin çevresinin çapına oranını gösteren bir sayıdır ve büyüklük ayırt etmeden her çember için aynıdır. Ishango Kemiği gibi saymanın tarihine dair 20.000 yıl öncesinden gelen bulgular var.

Antik Mısırlılar ve Babilliler yaklaşık 4000 yıl önce Pi'yi araştırdılar. Babilliler Pi'yi 3 ve 1/8 yani 3,125 olarak ölçtü. Pi'nin ilk basamakları 3,1415926 olduğundan etkileyicidir. Babillilerin Pi tahmini gerçek değere %99 kadar yakındı. Bu hesaplama insanlık tarihinde ilk kez demirin kullanıldığı ve mamutların soyunun tükendiği bir dönemden geliyor. Antik Mısırlılar Pi'yi 3,16 ile daha az doğrulukla tahmin ettiler. Peki, Pi'nin değeri nasıl ölçülüyor?

Pi'nin Değeri

Pi'nin değeri nedir? Bunu anlamak için biri büyük diğeri küçük iki çember düşünün. Çemberlerin çaplarının bir ip parçası gibi esnek olduğunu ve onları çemberlerin dış kenarlarına (çevrelerine) sarabildiğinizi düşünün. Her çemberde bu çaptan ipliği çevrenin etrafına sararsanız 1 çapın tüm yolu dolaşmaya yetmediğini görürsünüz. Öyleyse başka bir çap daha alır ve yeniden denersiniz ancak iki çap bile tüm yol için fazla kısadır. Üçüncü bir çap aldığınızda bu üç çap çemberin çevresini sarmaya neredeyse yeterlidir ancak hala biraz kısa kalır. Bu "biraz" yaklaşık 0,14 çap. Yani büyük veya küçük her çemberin çapının 3,14 katı çevresine eşit. Yani Pi değeri her zaman 3,14'tür.

Pi elbette bundan biraz daha karmaşıktır. 3,14 gerçek Pi sayısının iki ondalık basamağa yuvarlanmış hali. Yuvarlamak şart çünkü Pi, irrasyonel bir sayı. İrrasyonel bir sayı asla sonlanmaz ve basamakları asla yinelemez. Yani Pi'yi 3,141592653589793238 gibi yazabilirsiniz ve kendini yinelemeden sonsuza dek devam edecektir.

Pi Sayısını Hesaplamak

Pi'yi bulmak kavisli bir yüzeyin ölçümünü almaya çalışmaktır ve bunu normal yollarla yapmak çok zordur. Çember gibi kavisli bir yüzeyi ölçmenin en iyi yolu hile yapmaktır. Bu iş için bir kareyi kullanabilirsiniz. Dört köşeli kareden sonra daireye daha yakın olan ilk şey pentagondur. Pentagonun ardından bir altıgene ve sonra bir yedigene. Yani çemberi çok kenarlı bir çokgen gibi düşünerek ölçebilirsiniz. O denli çok kenarı vardır ki her biri sonsuz derecede küçüktür ve çember bu yüzden yuvarlak görünür. Olağanüstü antik Yunan matematikçi Arşimet'in MÖ 220 civarında Pi'yi ölçerken düşündüğü şey tam olarak buydu. Bir karenin çevresini tüm kenarlarının uzunluklarını toplayarak ölçebileceğini düşündü. Sonra onu karelerin çapına böldü. Ama bir karenin çapı neydi? Köşegeninin uzunluğu mu yoksa bir kenarının uzunluğu mu?

Arşimet neden ikisi olmasın dedi ve köşeleri dışarıdan dairenin çevresine değen bir kare çizdi. Yüzü aynı dairenin çevresine değen başka bir kare daha çizdi ve her karenin kenar uzunluklarını çaplarına bölerek topladı. Pi değeri için iki tahmin elde etti. Sonra bu iki sayı arasındaki farkı küçültmek için kareleri beşgenle, beşgeni altıgenle vb. değiştirdi. Arşimet sonunda 96 kenarlı bir şekil elde etti. Bu başarısı muhtemelen bilime yaptığı son katkı olmuştur çünkü MÖ 212'de memleketi Siraküza'yı işgal eden Roma askerleri tarafından öldürüldü. O sırada bu Pi hesaplamasını yaptığı düşünülür çünkü son sözü "Çemberlerimi bozmayın" oldu. Arşimet'ten sonrada Avrupa'da Pi üzerine 1000 yıl araştırma yapılmadı. Ancak dünyanın başka yerlerinde Pi ile ilgilenen matematikçiler vardı ve özellikle ilk binyılda matematikteki üç öncü ülke Çin, Hindistan ve İran oldu.

Pi ile Matematiğin Gelişimi

Bu üç ulus Pi peşinde matematikte dünyayı değiştirdiler. Çinli matematikçiler Pi'yi hesaplarken Arşimet'inkine benzer bir yöntem kullandılar. 3. yüzyılda Liu Hui adlı Çinli bir matematikçi 3072 kenarlı bir çokgen kullanarak Pi'yi beş ondalık basamağa dek hesapladı. 200 yıl sonra bir baba-oğul olan Zu Chongzi ile Zu Gengzhi 12.000'den fazla kenarı olan bir çokgen üreterek bu rekoru altı ondalık basamağa çıkardı ve bu dünya rekoru bir 800 yıl kırılamadı. Sorun bu hesaplamaları yapmanın çok zor olmasıdır. Zor olan yalnızca anlamak değil, yazmaktı. Hesaplamalar fiziksel olarak yürütülüyordu.

Bu durum Hindistan ve Persleri dünyayı değiştirecek iki düşünceyi geliştirmeye itti: Herhangi sayıyı yalnızca on sembol kullanarak yazabilmek ve bilinmeyen bir değerin X ile gösterildiği bir denklem oluşturmak. Ondalık gösterim fikri ilk olarak MS 400'e yakın Hindistan'da geliştirildi ve sonra ikinci ana fikrin gelişeceği Pers ülkesine yayıldı. Bu denklem fikri elbette cebirdir ve başta Babil ve antik matematikçiler tarafından geliştirilmişti. Ancak cebiri gerçekten ilerleten Pers matematikçiler oldu ve Pi'nin tüm matematikçiler için çok daha kolay hesaplanmasını sağladılar.

Arşimet gibi antik matematikçiler giderek çembere yaklaşan biçimler kullanarak çemberin çevresini ve Pi değerini ölçerken, Avrupalı ​​matematikçiler şimdi tamamen akla dayalı bir yöntem geliştirmişti: Sonsuz serisi. Pi sayısını hesaplamak için sonsuz seri kullanma yöntemi ilk kez Avrupa'da değil, Hindistan'da geliştirildi. Arşimet de bir bakıma sonsuz seri ile çalışmıştı ancak sonsuz seriye dair matematiksel bir fonksiyon yazan ilk kişi 14. yüzyılın Hintli matematikçisi Sangamagrama'dır. Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve ters tanjantı için denklemler yazdı. Sangamagrama, Pi'yi 11 basamağına dek hesapladı.

Sangamagrama'nın bu çığır açıcı yöntemi unutuldu ve ta ki 17. yüzyıl Avrupa'sında Scott James Gregory ve Alman Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından yeniden keşfedildi. Her şey bu noktada değişmeye başladı. Yeni ondalık gösterim ve cebirsel teknik ile Pi'nin basamakları rekor düzeyde hesaplanmaya başladı. 1699'da John Machin Pi sayısında yüz basamağa ulaştı ve 1706'da 271 basamağını hesaplayan Abraham Sharp tarafından geçildi. 1719'da Thomas Fantet de Lagny 112 basamaklı Pi sayısını açıkladı. Bu matematikçiler yalnızca ters tanjant sonsuz seriyi kullanmıyor, Pi'yi daha hızlı hesaplamayı sağlayan kendi sonsuz serilerini geliştirerek Pi'nin hesaplanmasında birbirleriyle yarışıyorlardı.

Günümüzde kullanılan sonsuz serisi Hintli dahi matematikçi Srinivasa Ramanujan'a aittir. 20. yüzyılda mekanik bilgisayarların icat edilmesiyle Pi'yi hesaplamak artık çok daha kolaylaştı. 1949'da Amerikalı D. F. Ferguson ve John Wrench 1120 basamaklı Pi sayısını hesapladılar. Ancak aynı yıl bir elektronik bilgisayar 2037 basamaklı Pi'yi hesaplayarak çıtayı iki katına çıkardı. Bugün kaydedilen en büyük Pi sayısı 62,8 trilyon basamaklıdır. Güçlü bir bilgisayarı 108 gün çalıştıran İsviçreli araştırmacılar tarafından elde edildi. Daha önce Google'ın bulut tabanlı bilgi işlem motorunu kullanarak 31 trilyon basamak hesaplanmıştı.

Pi Sayısının Önemi Nedir?

Eğer Pi sonsuza dek giden metafiziksel bir sayıysa neden insanlar onu hesaplama zahmetine giriyor? Pi'yi hesaplamanın birçok yararı vardır. Örneğin, yeni ürettiğiniz bir bilgisayarın sorunsuz biçimde çalıştığından emin olmak istiyorsanız Pi'yi hesaplamasını istersiniz çünkü oldukça zorludur. Tabii bir önceki kişiden daha fazla basamağı hesaplarsanız bir dünya rekoru da kırabilirsiniz.

Pi ayrıca oldukça iyi bir rastgele sayı üretecidir: Pi sayısının ilk 200 milyar basamağına bakarsanız sıfır sayısının neredeyse tam olarak 20 milyar kez geçtiğini görürsünüz. 1'den 9'a kadar olan diğer sayılar için de aynısı geçerli: Bu basamaklarda 1 sayısına rastlama şansınız neredeyse tam olarak %10'dur ve 2 sayısına rastlama şansınız da tam olarak %10'dur ve bu böyle devam eder. Pi'nin bu özelliği onu rasgele sayılar üretmek isteyen insanlar için çok değerli kılıyor. Tıpkı kriptografide çalışan insanlar gibi.

İnsanlar Pi'nin on binlerce basamağını ezberliyor ve aynı nedenle daha fazla Pi basamağı hesaplamaya devam ediyor. 2005'te 23 yaşındaki bir kişi Pi'deki sayıların 68.000'ini hafızasından okudu. Bu tutku insanların okyanusta yüzmesi veya en sıra dışı aletleri icat etmesiyle aynı nedenden geliyor; insan meraklıdır.

Çevremizdeki dünyayı daha iyi anlamayı istiyoruz ve uygarlıklar tam olarak bu yolla gelişiyor. Yaşamak için onlara gereksinim duymamıza karşın her gün dünyayı daha iyi açıklayan daha karmaşık araçlar geliştiriyoruz çünkü insanoğlu böyle işler. Pi sayısı tüm insanlık tarihinin içinden geçip gelen bir iplik gibidir. Antik çağlardan günümüze dek doğal dünya ile nasıl etkileşime girdiğimizi yansıtır. Her zaman bir sonraki sayının ne denli uzun olduğunu merak eden birileri olacak ve olmalı da.

Pi Sayısı Hakkında Sık Sorulanlar

Kaynaklar:

• Wolfram MathWorld – Pi