Bir dairenin çevresinin çapına oranı olan pi yalnızca irrasyonel değildir yani basit kesir olarak yazılamaz aynı zamanda aşkın sayıdır yani x+5×3+4 = 0 gibi herhangi bir polinom denklemin kökü veya çözümü değildir. Pi sayısı en iyi bilinen sayılardan biri ancak işi tüm gün sayıları düşünmek olan insanlar için "daire sabiti" biraz sıkıcıdır. Matematikçilerin pi olmayan en sevdikleri sayılara göz atalım.
2'nin Karekökü
2'nin karekökü tarihteki ilk matematiksel cinayete yol açmasıyla şimdiye dek tasarlanmış en tehlikeli sayıdır. Yunan matematikçi Metapontumlu Hippasus MÖ 5. yüzyılda 2'nin karekökünü keşfetmesiyle tanınıyor. Hippasus'un ayrı bir problem üzerinde çalışırken, iki taban kenarının uzunluğu 1 birim olan ikizkenar dik üçgenin hipotenüsünün irrasyonel bir sayı olan √2'ye eşit olduğunu fark etti.
Söylenceye göre Hippasus'un çağdaşları olan yarı-dini düzenin üyeleri Pisagorcular onun büyük keşfini duyunca onu denize attılar. Bunun nedeni Pisagorcuların "her şeyin sayı olduğuna" ve evrenin yalnızca tam sayıları ve oranlarını içerdiğine inanmasıydı. Tam sayıların oranı olarak ifade edilemeyen ve ondalık haneden sonra sonsuza dek devam eden √2 (ve pi) gibi irrasyonel sayılar kafir görülüyordu.
Bu günlerde √2'ye karşı daha açık fikirliyiz ve ona genellikle Pisagor sabiti diyoruz. 1,4142135623 … olarak başlar (ve tabii ki sonsuza dek devam eder). Pisagor sabitinin her türlü kullanımı vardır. İrrasyonel sayıların varlığını kanıtlamasının yanı sıra, Uluslararası Standardizasyon Örgütü'ne (ISO) göre A kağıdının boyutunu tanımlıyor. A kağıdının uzunluğunun genişliğine bölümü 1,4142'dir. Bu genişliğin yarısı A2 kağıt parçasını verir ve sonrası A3'ü.
2Alef0
Matematikte alef sayıları düzgün sıralanabilen sonsuz kümelerin kardinalitesini (boyutunu) göstermek için kullanılan bir sayı dizisidir. Georg Cantor tarafından İbranicenin ilk harfi alef (א) ile gösterildi. Sonsuz sayılarla uğraşan matematikçilerin en sevdiği sayılardan biri 2Alef0'dır. Alef sayıları sonsuz kümelerin boyutunu tanımlıyor. Buradaki küme matematikte farklı nesnelerin derlemesidir. (Örneğin, 2, 4 ve 6 sayıları üç büyüklüğünde küme oluşturur.) 2Alef0'ın Alef0'a eşit olmadığını görmek (Cantor teoremi) farklı boyutta sonsuzlar olduğunu fark etmeyi sağlar. Bu da 2Alef0 konseptini özel kılan şeydir.
Başka bir deyişle, her zaman daha büyük bir şey vardır: Sonsuz kardinal (nicel) sayılar sonsuzdur, dolayısıyla "en büyük nicel sayı" diye bir şey yoktur.
1 Sayısı
Hem sayı olarak hem de birçok farklı role bürünme yeteneğiyle 1 sayısı göz ardı edilemez. 1, diğer tüm sayıların tam sayı halinde bölündüğü tek sayıdır. Yalnız tek bir pozitif tam sayıya bölünebilen tek sayıdır (kendisi). Asal veya bileşik olmayan tek pozitif tam sayıdır.
Hem matematikte hem de mühendislikte değerler genellikle 0 ile 1 arasında gösterilir. "Yüzde yüz" demek 1 demenin süslü yoludur. Bilim dünyasında temel birimleri temsil ederken 1 kullanılır. Tek bir protonun +1 yükü olduğunu söyleriz. İkili mantıkta 1, "evet" anlamına gelir. En hafif elementin atom numarasıdır ve düz bir çizginin boyutudur.
0 Sayısı
1'den daha harika ve daha tuhaf olan tek sayı 0'dır. Yazılı insanlık tarihinin çoğu bölümünde kimse 0'ın farkında değildi. Antik Babil zamanlarından kalma kil tabletlerde 315 ve 3105 gibi sayıların farkı her zaman önemsenmiyordu.
Antik Yunanlılar, farklı büyüklükteki sayıları ayırt ederken yer tutması için 0'ı kullanmayı seçtiler ancak Brahmagupta gibi Hintli matematikçilerin modern 0 fikrini hayata geçirmesi yaklaşık 7. yüzyılda başlamıştır. Brahmagupta, sıfırla çarpılan herhangi bir sayının sıfır olduğunu yazdı, ancak bölme kısmında zorlandı ve n'nin sıfıra bölünmesinin n/0 olacağını söyledi ve aslında değer tanımsızdır. Mayalar bile bağımsız olarak MS 665'te sıfır kavramını türettiler.
Sıfır son derece kullanışlıdır, ancak birçok insan için anlaması çok zor bir kavramdır. Günlük hayatımızda 2 ağaç veya 1 hayvan gibi örneklerimiz var ancak hiçliği temsil ederken sayı kullanmak büyük bir kavramsal sıçramadır. Sıfır zihindedir, duyusal dünyada değil. Yine de 0 (ve 1) olmadan çağdaş dünyamıza hayat veren dijital ikili kodlar olmazdı. (Bilgisayarlardaki tüm veriler 0'lar ve 1'lerden oluşur.)
Tau
İki çarpı pi veya kabaca 6,28 olan "tau" sayısı. Tau kullanmak, her formülü pi kullanmaktan daha net ve mantıklı kılar. 2pi yerine pi'ye odaklanmamız tarihi bir tesadüf.
Tau, en önemli formüllerde ortaya çıkan sayıdır. Pi bir dairenin çevresini çapıyla ilişkilendirirken, tau bir dairenin çevresini yarıçapıyla ilişkilendiriyor ve birçok matematikçi bu ilişkinin çok daha önemli olduğuna inanır.
Tau ayrıca bir dairenin alanı ile kinetik ve elastik enerjinin denklemi gibi görünüşte ilgisiz denklemleri birbiriyle simetrik hale getirir. Tau o denli önemli ki Massachusetts Teknoloji Enstitüsü 28 Haziran'ı Tau Günü ilan etti.
e Sayısı
Doğal logaritma tabanı 18. yüzyıl İsviçre matematikçisi Leonhard Euler adına "e" ile belirtilir ve pi kadar ünlü olmayabilir ancak matematikte önemli bir yeri var. 2,718 ile başlayan irrasyonel bir sayı olan e sayısının Pi gibi özel bir tarihi bile var: 7 Şubat ve ona e günü deniliyor.
E sayısı matematikte en çok logaritma, üstel büyüme ve karmaşık sayıları içeren denklemlerde kullanılıyor. Örneğin, y = ex üstel fonksiyonunun her noktada değerine eşit bir eğime sahip olduğu tek sayı e sayısıdır. Başka bir deyişle, belirli bir noktada bir fonksiyonun değeri 7,5 ise, o noktadaki eğimi veya türevi de 7,5'tir. Pi gibi e sayısı da matematik, fizik ve mühendislikte her zaman ortaya çıkıyor.
Belphegor Asal Sayısı
Belphegor'un asal sayısı, her iki taraftaki 1 ile aradaki 13 sıfır arasında duran 666 ile palindromik bir asal sayıdır. Bu şeytani sayı 1 0(13) 666 0(13) 1 olarak kısaltılır, buradaki (13), 1 ile 666 arasındaki sıfırların sayısını gösteriyor.
Sayıyı "keşfetmemiş" olmasına rağmen, bilim adamı ve yazar Cliff Pickover uğursuz görünen sayıya İncil'deki cehennemin yedi iblis bekçisinden olan Belphegor'un adını verince onu ünlü yaptı.
Sayının, pi'nin baş aşağı hali gibi görünen kendi şeytani sembolü bile var. Sembol, gizemli Voynich el yazmasındaki bir gliften türetildi, 15. yüzyılın başlarından kalma bir resim ve metin derlemesidir ve kimse çözememiştir.
Apery Sabiti
Matematikçilerin en gizemli bulduğu sayılardan biridir Apery sabiti yani zeta(3). 1979'da Fransız matematikçi Roger Apery, 1,2020569 ile başlayan ve sonsuza dek devam eden bir sayının irrasyonel olduğunu kanıtlayarak ona Apery sabiti dedi ve ayrıca zeta(3) olarak yazılır. Burada zeta(3), 3 sayısını yerleştirdiğinizde Riemann zeta fonksiyonudur.
Matematikteki en büyük problemlerden biri olan Riemann hipotezi, Riemann zeta fonksiyonunun ne zaman sıfıra eşit olduğu hakkında tahminde bulunur ve kanıtlanırsa, matematikçilerin asal sayıların nasıl dağıldığını daha iyi tahmin etmelerine olanak tanıyacak.
20. yüzyılın ünlü matematikçisi David Hilbert, Riemann hipotezi hakkında şöyle demişti: "Bin yıl uyuduktan sonra uyanacak olsaydım, ilk sorum şu olurdu, 'Riemann hipotezi kanıtlandı mı?'
Peki bu sabiti bu denli ilginç kılan nedir? Apery sabiti, elektronun manyetizmasını ve açısal momentuma olan yönelimini gösteren denklemler gibi fizikteki büyüleyici noktalarda ortaya çıkıyor.
Sanal i Sayısı
"Pi"den "p"yi çıkarın ve ne elde edersiniz? İ sayısını. Bir matematikçi Türkiye'de bir politik parti kursaydı olacaklar buydu. -1'in kareköküdür yani kural bozucudur çünkü negatif bir sayının karekökünü almazsınız.
Yine de bu kuralı bozarsak sanal sayıları ve dolayısıyla hem güzel hem de kullanışlı olan karmaşık sayıları elde ediyoruz. (Karmaşık sayılar hem gerçek hem de sanal sayıların toplamı olarak ifade edilebilir.)
i sanal sayısı son derece tuhaf bir sayıdır çünkü -1'in iki karekökü vardır: i ve -i. Ancak hangisinin hangisi olduğunu söyleyemeyiz. Matematikçiler sadece bir karekök seçip onu i ve diğerini -i olarak adlandırmak zorundadır.
i Üzeri i
İster inanın ister inanmayın i'yi daha da tuhaf hale getirmenin yolları var. Örneğin, i üzeri i'yi deneyebilirsiniz – başka bir deyişle, -1'in karekökü üstü -1'in karekökü demekten farksızdır.
Başta mümkün en sanal sayı gibi görünür – sanal bir sayının üstünde sanal bir sayı daha. Ancak Leonhard Euler'ın 1746 tarihli bir mektubunda yazdığı gibi bu aslında gerçek bir sayıdır!
i üzeri i'nin değerini bulmak Euler özdeşliğini yeniden düzenlenmekten geçer. İrrasyonel sayı e, sanal i sayısı ve belirli bir açının sinüs ve kosinüsünü belirten bir formüldür. Formülü 90 derecelik açı değeriyle çözdüğünüzde (pi bölü 2 olarak ifade edilebilir) şu sonuca varırsınız ii = e-(π/2).
Kulağa kafa karıştırıcı gelebilir ancak sonuç 0,207'ye eşittir ve hiç de sanal bir sayı değildir. En azından 90 derecelik açı söz konusu olduğunda.
Euler'ın belirttiği gibi, i üzeri i'nin tek bir belirli değeri yok. Çözdüğünüz açıya bağlı olarak "sonsuz sayıda" değer alıyor. (Bu yüzden i üzeri i günü bile ilan edemiyoruz.)
Euler Özdeşliği
Aslında bir denklem olan Euler özdeşliği fizikçi Richard Feynman'ın tanımladığı gibi gerçek bir matematiksel mücevherdir. Kendisi bir Shakespeare sonesiyle kıyaslanan tek matematiksel ifadedir.
Özet olarak, Euler özdeşliği çeşitli matematiksel sabitleri birbiriyle ilişkilendiriyor: Pi, doğal logaritma e ve sanal sayı i.
Bu üç sabiti 0 özdeşliği ile birbirine bağlar ve temel aritmetiğin çarpımsal özdeşliğiyle birleştirir: e(i*Pi) + 1 = 0. Basit ancak kullanışlıdır.